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created: 2026-10-08
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  - 沪教版教参必修第一册·第4章
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source: 沪教版教参必修第一册.md（原文件第 2063–2568 行）
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# 第 4 章 幂函数、指数函数 与对数函数

> 拆分自 [[沪教版教参必修第一册]] · **第 4 章 幂函数、指数函数 与对数函数**（原文件第 2063–2568 行）。
> 正文、公式与图片引用逐字保留；标题按语义重算层级，OCR 噪声前缀（页码/页边框）已清理。


## 一、本章概述

### 总体要求

幂函数、指数函数与对数函数是基本的初等函数, 可作为进一步学习一般函数概念的基础. 同时, 作为初等数学中常见的函数模型, 它们与生活实践、科学研究均有着密切的联系, 并在这些领域中有着广泛的应用.

初中阶段学过一些基本的初等函数,如正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等, 已初步体会了函数是描述客观世界中变量之间的相互关系和变化规律的重要语言和工具. 本章将在上一章学习幂、指数和对数的基础上, 先定义幂函数、指数函数和对数函数, 再通过图像和代数的方法研究它们的性质, 为下一章以它们为代表抽象出一般函数的概念, 并进一步研究一般函数的性质及应用奠定基础.

通过幂函数、指数函数和对数函数的学习, 可以帮助学生学会用函数图像和代数运算研究函数的性质, 了解它们各自蕴含的规律; 运用这些函数建立相应的数学模型, 解决简单的实际问题, 体会这些函数在解决实际问题中的作用.

经历幂函数、指数函数和对数函数图像与性质的研究过程, 对于培养与提升学生的数学抽象、逻辑推理、直观想象等方面的核心素养有着重要的意义, 而建立幂函数、指数函数和对数函数的模型, 并利用这些模型解决实际生活中的问题, 对体会数学的应用价值, 培养数学建模的素养亦会起到重要的作用.

### 课时安排建议

本章的课时安排建议为 8+1 ,共计 9 课时,建议如下:

<table><tr><td>章节名</td><td>建议课时</td><td>具体课时分配建议</td></tr><tr><td rowspan="2">4.1 幂函数</td><td rowspan="2">2</td><td>幂函数的定义与图像 1 课时</td></tr><tr><td>幂函数的性质 1 课时</td></tr><tr><td rowspan="2">4.2 指数函数</td><td rowspan="2">3</td><td>指数函数的定义与图像 1 课时</td></tr><tr><td>指数函数的性质 2 课时</td></tr><tr><td rowspan="2">4.3 对数函数</td><td rowspan="2">3</td><td>对数函数的定义与图像 1 课时</td></tr><tr><td>对数函数的性质 2 课时</td></tr><tr><td>复习与小结</td><td>1</td><td/></tr></table>

### 内容编排与特色

本章内容分为三节, 分别是“ 4.1 幂函数”“4.2 指数函数”和“4.3 对数函数”.

“ 4.1 幂函数”. 区别于“二期课改”教材,本教材中幂函数、指数函数与对数函数安排在“一般函数”之前, 因此, 幂函数的地位与作用也发生了相应的变化. 作为高中阶段学生接触的第一类函数, 幂函数起到了初高中函数概念的过渡与衔接的作用. 本节先从正比例函数 $y = x$ 、反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 、二次函数 $y = {x}^{2}$ 中抽象出幂函数的概念; 然后选择三个具有代表性的指数所对应的幂函数 $\left( {y = {x}^{\frac{1}{2}}, y = {x}^{3}, y = {x}^{-\frac{2}{3}}}\right)$ ,用描点法作出它们的大致图像; 再在抽象出幂函数在第一象限的图像特征后, 通过图像概括出幂函数的性质; 最后用代数的方法给予证明. 这为研究函数性质提供了一个基本的途径. 通过幂函数的学习, 可以让学生初步体会利用图像与代数运算是研究函数性质的重要方法.

" 4.2 指数函数". 在定义了指数函数之后, 教材继续沿用研究幂函数性质的方法, 研究指数函数的性质, 让学生再次体会到利用图像与代数运算是研究函数的重要方法. 与 “二期课改” 教材不同的是, 本教材中指数函数在 R 上是严格单调函数这一结论, 不再是从特殊到一般的推广, 而是通过幂的基本不等式给予了证明, 这实现了从几何直观到数学符号语言的表述、再到严格论证的过程, 体现了数学思维的严谨性.

" 4.3 对数函数". 教材继续采用研究幂函数、指数函数的方法, 研究了对数函数, 同时从 “对数运算是指数运算的逆运算” 的角度出发,指出 “作为函数,对数函数 $y = \; {\log }_{a}x$ 是指数函数 $y = {a}^{x}$ 的反函数”,从本质上阐明了对数函数与指数函数的联系,为研究对数函数提供了另外的途径.

总的来说,本章在第三章的基础上,通过在等式 ${a}^{b} = c$ 的三个量 $a\text{、}b\text{、}c$ 中固定一个量, 研究另两个量的相互关系和变化规律, 定义三种基本而又应用广泛的函数——幂函数、指数函数和对数函数, 在体现了简洁美和统一美的同时, 能更好地体会函数是刻画变量与变量之间的相互关系的数学语言和工具, 为下一章一般函数的学习奠定基础. 此外, 因为幂的基本不等式的引入, 从代数的角度证明了幂函数、指数函数和对数函数的单调性, 避免了以往教材中仅仅从观察得到有关结论的不足与尴尬, 在数学抽象的基础上实现了由几何直观到严格论证的过程, 体现了数学的严谨性.

### 教学提示

可以在上一章“幂、指数与对数”的基础上, 把幂函数、指数函数和对数函数作为一个整体,引导学生从等式 ${a}^{b} = c$ 出发,固定其中一个量,研究另两个量之间的相互关系和变化规律, 引导学生理解这三个函数之间的联系与区别.

本章的教学建立在上一章“幂、指数与对数”和初中所学的函数知识的基础上, 旨在通过本章的学习建立初高中函数学习之间的桥梁, 为学习下一章“函数的图像、性质及应用”奠定基础. 本章的教学要在使学生掌握幂函数、指数函数与对数函数的图像、性质与应用的同时, 让学生体会运用图像与代数运算是研究函数性质的一般方法.

对于幂函数、指数函数和对数函数的图像与性质的研究, 可以采取从特殊到一般的方法, 进行概括与抽象. 对于幂函数、指数函数和对数函数的单调性的教学, 在抽象之后要给予证明, 实现从直观到严格论证的过程.

要充分关注和利用幂函数、指数函数和对数函数所具有的丰富的现实背景和应用价值, 这不仅有利于对幂函数、指数函数和对数函数的概念的理解, 同时能帮助学生感受如何用函数描述客观世界事物的变化规律, 培养与提升他们的数学建模素养. 比如, 可以从学生熟悉的生活问题, 构建一些幂函数、指数函数和对数函数; 又如, 在学生初步学习了这三个函数的定义、图像与性质之后, 可以通过具体的实例, 感受幂函数模型、指数函数模型和对数函数模型在生活中的广泛应用.

鼓励学生运用信息技术学习、探索和解决问题. 例如, 利用计算器列表画出幂函数、指数函数和对数函数的图像, 探索它们的变化规律, 研究它们的函数性质等.

在探究与实践的教学中, 可结合具体的实例, 让学生感受到在现实生活中不仅要关注数量的递增, 还要关注递增的快慢程度, 体会严格单调函数递增 (减) 的快慢是严格单调函数的重要性质. 建议在教学中,以在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上严格递增的幂函数、指数函数和对数函数为例进行探究. 先列出在 $x > 0$ 时,自变量与函数值的对应值表,并充分利用计算器, 在同一平面直角坐标系中作出它们的图像, 让学生直观地感受到虽然它们在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上都是严格增函数,但增长速度是不同的,归纳总结出幂函数、指数函数与对数函数的增长差异.

### 评价建议

要注意学生能否从整体上理解幂、指数与对数, 以及幂函数、指数函数与对数函数的联系和区别, 例如幂、指数与对数是运算, 幂函数、指数函数与对数函数是其对应的函数; 通过固定等式 ${a}^{b} = c$ 三个量 $a\text{、}b\text{、}c$ 中的一个,研究另两个量的相互关系和变化规律, 由此定义幂函数、指数函数和对数函数等.

在研究幂函数、指数函数和对数函数的图像与性质时, 要注意学生能否充分利用创设的问题与背景, 自主抽象出这三个函数的性质. 例如, 在研究幂函数的图像与性质时, 能否利用例题所列出的三个具体函数, 抽象出幂函数在第一象限的图像特征与函数性质; 又如, 能否在已经学习过幂函数与指数函数的图像与性质的基础上, 通过类比思想, 自主定义对数函数, 并在此基础上抽象出对数函数的图像与性质等.

要注意学生能否体会图像与代数运算是研究函数性质的重要方法.

学生能否利用幂函数、指数函数和对数函数的模型解决和解释现实生活中相应问题, 体会函数作为基本的数学语言和工具, 在解决实际问题中的重要作用. 例如, 能否寻找生活中的“直线上升”“对数增长”“指数爆炸”的实例,并用函数的观点解释现象, 对未来可能出现的情况作出预期等.

#### 二、教材分析与教学建议

##### 4.1 幂函数

### 教学重点

幂函数的定义与图像, 幂函数的性质: 能从具体的幂函数出发, 理解幂函数的概念, 作出具体的幂函数的图像.

能利用从特殊到一般的方法, 归纳幂函数的图像特征, 并在图像的基础上, 用代数运算的方法研究幂函数的性质.

### 内容分析

初中已经学过 $y = x\text{、}y = \frac{1}{x}$ 和 $y = {x}^{2}$ 这三个函数,本节从这三个具体的幂函数出发, 发现与总结幂函数具有“指数固定, 幂随着底数的变化而变化”的特征, 并据此抽象出幂函数的概念. 在定义了幂函数之后, 教材选取了三个具有代表性的指数所对应的幂函数, 在研究了它们的定义域的基础上, 借助描点法作出它们的大致图像. 以这三个幂函数的图像为基础, 教材通过对幂函数的定义域和函数值的简单分析, 指出幂函数在第一象限总有图像, 并针对它们在第一象限中图像的不同, 将幂函数分为指数大于 0 和指数小于 0 两种情况分别进行研究.

通过观察幂函数在第一象限的图像, 发现幂函数的图像在指数大于 (小于) 0 时, 图像由左至右是上升(下降)的. 在用数学符号语言给予了表征之后,利用幂的基本不等式证明了幂函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增 (减) 函数. 同时也指出无论指数取何值,幂函数的图像均经过定点 $\left( {1,1}\right)$ .

例 1 旨在通过求幂函数的定义域, 加深对幂函数的概念的理解, 但重点并非求幂函数的定义域, 建议在教学时, 不要加大这部分的难度. 要注意的是: 初中是用不等式表示函数定义域的, 而例 1 是用集合表示, 这也是由初中函数概念向高中函数概念的一个过渡.

例 2 与例 3 旨在理解幂函数的定义与图像. 习题 4.1A 组第 2 题, B 组第 1 题为该例题的配套习题, 其中习题 4.1A 组第 2 题旨在巩固概念、夯实基础, 而 B 组第 1 题是该组习题的延展.

例 4 主要的目的是利用指数大于 0 的幂函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增函数,比较两个数的大小, 熟悉幂函数的性质. 解决该问题的难点在于, 要建立用函数的观点解决问题的意识,特别是在解决第( 2 )小题时,学生可能会直接说幂函数在指数大于 0 时是严格增函数,忽略了在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上这一条件,此时一定要及时加以纠正,让学生明确单调性是针对定义域中的某个区间而言的, 是一个局部的性质. 习题 4.1A 组第 4、5 题, B组第 2 题是该例题的配套习题, 其中习题 4.1A 组第 4、5 题旨在巩固概念、夯实基础,而 B 组第 2 题是该例题的拓展.

例 5 与例 6 目的在于研究函数 $y = {\left( x + m\right) }^{a}\text{、}y = {x}^{a} + b$ 和 $y = {x}^{a}$ 图像之间的关系. 可以在本组例题之后根据班级的具体情况, 决定是否归纳函数平移的一般情况. 值得注意的是, 区别于“二期课改”教材, 本组例题的解答从正反两个方面讲述了两个函数图像之间的平移关系, 使解答更为严谨. 习题 4.1A 组第 6 题, B 组第 4 题是该组例题的配套习题, 其中习题 4.1A 组第 6 题旨在巩固概念、夯实基础, 而 B 组第 2 题是该组例题的延展.

### 注意事项

以往教材采用的是一般函数在前, 幂函数、指数函数、对数函数在后的编排顺序, 而本教材在顺序的处理上是与之相反的, 即先讲幂函数、指数函数、对数函数等具体函数, 再由它们作为具体的实例抽象出一般函数的概念. 这样的调整, 体现了由具体到抽象、由特殊到一般的原则, 并不仅仅是简单意义上顺序的调整, 在观念及很多问题的处理上要作相应的改变.

幂函数是学生在高中阶段接触的第一类具体函数, 起承前启后的作用. 应把幂函数作为载体, 让学生初步体会“用函数图像和代数运算的方法研究函数”是研究函数性质的重要手段, 为下一章引入一般函数的概念、性质与应用奠定基础.

在函数概念的处理上, 幂函数是从初中的函数概念向高中函数概念的过渡. 区别以往教材中把幂函数作为实数集合之间的对应关系的处理方式, 本教材中幂函数的概念侧重于把幂函数理解为变量与变量的某种依赖关系. 教材中出现了对定义域的描述, 但并没有出现值域这一概念, 而是用函数值替代. 值域概念的提出将放在第五章, 在本章教学中应予以淡化. 特别要注意的是, 出于整体性的考虑, 本教材中虽规定幂函数中指数的范围为 $\mathbf{R}$ ,但教师在教学中应淡化对指数为无理数情况的讨论.

在幂函数图像的处理上, 教材将第一象限的图像就指数大于 0 和指数小于 0 两种情况分别进行讨论,目的是为 “幂函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是单调函数” 的教学作准备. 没有再细分指数大于 1 、指数等于 1 和指数大于 0 且小于 1 这三种图像的情况,因为只要指数大于 0,这些函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上都是严格增函数.

对幂函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增 (减) 函数的处理,教材从 “图像由左至右是上升(下降)的”直观描述,过渡到“随着 $x$ 的增大,函数值 $y$ 也增大 (减小)” 这种数学语言的描述, 更有利于用代数的方法进行检验. 应处理好这一过渡, 更好地帮助学生理解幂函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增(减)函数这一难点. 特别要注意的是,为将来更好地和大学教材接轨, 教材中提到的严格增(减) 函数, 就是以往教材中所说的增 (减)函数. 但这里提出的严格增(减)函数, 只是针对幂函数来说的, 并不是针对一般函数. 在处理这部分内容时, 不要过早抽象到一般函数的情况.

### 数学建议

在引入幂函数概念时, 可结合生活中的一些实例, 让学生体会幂函数的现实背景和应用价值.

可充分利用例 2 和例 3 中所示的三个函数开展教学, 充分体现 “数形结合” 和 “从特殊到一般”的数学思想方法. 但值得强调的是,要培养数学思维的严谨性,教学中要使学生树立 “直观之后说理”的意识, 因为观察所得的直观结论, 在数学上并不一定总是正确的.

“在指数大于 0 时,幂函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增函数”和“在指数小于 0 时, 幂函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数”的定义方式是完全类似的,在介绍指数大于 0 的情况之后,应尝试让学生自主给出指数小于 0 时幂函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数的定义与推导过程.

教学中可适当借助计算器探究函数的图像与性质. 例如, 用描点法作函数图像时,可适当借助计算器列表描点; 再如,在研究部分幂函数的图像“关于 $y$ 轴成轴对称”或“关于原点成中心对称”时,可先借助计算器观察图形后,再进行证明.

#### 4.2 指数函数

### 教学重点

指数函数的定义与图像, 指数函数的性质: 能从具体的实例感受指数函数的应用价值, 理解指数函数的概念, 作出具体的指数函数的图像. 能利用从特殊到一般的方法, 归纳指数函数的图像特征, 并在图像表示的基础上, 用代数运算的方法研究指数函数的性质, 进一步体会运用图像和代数运算是研究函数性质的一般方法. 能建立相应的指数函数模型, 解决和解释现实生活中的有关问题.

### 内容分析

本节从具体的折纸问题入手,引入指数函数的概念,体会指数函数具有“底数固定, 幂随着指数的变化而变化”的特征. 通过类比, 将研究幂函数的图像与性质的方法, 用于指数函数的图像与性质的研究. 利用“由特殊到一般”“分类讨论”的数学思想方法,在底数 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 两种不同的情况下,探究指数函数的图像与性质,并利用幂的基本不等式, 证明指数函数在底数大于 1 时的单调性.

为了使学生了解指数函数模型的实际背景, 认识数学与现实生活及其他学科的联系, 在本节的最后讲述了“种群问题”, 旨在让学生进一步认识数学的应用价值, 树立用数学解决现实问题的意识.

例 1 旨在通过解方程, 求指数函数的函数表达式, 加深对指数函数概念的理解. 习题 4.2A 组第 1 题是该例题的配套习题, 旨在巩固概念、夯实基础.

例 2 与例 3 旨在研究指数函数的定义与图像. 习题 4.2A 组第 3 题, B 组第 1 题是该组例题的配套习题. 其中, 4.2A 组第 3 题在考察指数函数图像的同时, 也考察了图像的平移； ${4.2}\mathrm{\;B}$ 组第 1 题是该组习题的延展,要求学生在不同的情况下学会分析图像的各种可能性.

例 4 至例 6 旨在体会指数函数单调性的应用.

例 4 旨在应用指数函数的单调性 “比较两个数的大小”,进而熟悉指数函数的性质. 解决该问题的难点在于要建立用函数的观点解决问题的意识, 特别是在解决第 (2)小题时,两个数的底数不相等,建立合适的函数模型是解决该问题的关键. 第(3) 小题的目的是培养学生分类讨论的思想.

例 5 旨在应用指数函数的单调性解不等式, 引导学生学会将底数“化异为同”的方法.

例 6 旨在利用指数函数的单调性解决闭区间上的最值问题.

习题 4.2A 组第 6、7、8 题, B 组第 4、5 题是该组例题的配套习题, 其中 A 组第 6、7、8 题, 旨在巩固概念、夯实基础, B 组第 4、5 题是该组例题的延展.

例 7 旨在让学生体会指数增长, 初步感受指数爆炸的含义. 在建立入侵物种的种群数量增长模型之后, 利用该模型对未来作出预期, 以便采取有效的措施及早进行干预. 习题 4.2A 组第 9 题, B 组第 2 题是该组例题的配套习题.

### 注意事项

在指数函数的教学中, 不仅要让学生理解指数函数的图像与性质, 更要以此为载体, 进一步学会用函数图像和代数运算揭示函数的主要性质.

区别于以往的教材, 本节补充了对指数函数底数范围的说明. 对于指数函数之所以要求底数大于 0,可在教学中适当举例,帮助学生理解. 例如,当 $a < 0$ 时,指数 $x$ 取 $\frac{1}{2},{a}^{x}$ 无意义; 又如,当 $a = 0$ 时,指数 $x$ 取负数, ${a}^{x}$ 无意义. 需注意的是,以上的举例只能说明,要保证对所有的实数 $x,{a}^{x}$ 都有意义, $a$ 不能小于或等于 0 . 但 $a \; > 0$ 时,是否对所有的实数 $x,{a}^{x}$ 都有意义,仍与实数指数幂的定义有关,不必过分强调.

在证明 “指数函数 $y = {a}^{x}$ 的图像与指数函数 $y = {\left( {a}^{-1}\right) }^{x}$ 的图像关于 $y$ 轴对称” 时, 要明确其与证明“幂函数 $y = {x}^{-\frac{2}{3}}$ 的图像关于 $y$ 轴对称”的区别,前者是针对两个函数之间的图像特征, 后者是针对某个函数自身的, 不可混为一谈.

本节对指数函数的定义还是侧重于变量与变量之间的依赖关系, 很多问题的处理要区别于“二期课改”教材的处理方式. 例如,教材中并没有定义指数函数的值域,只是强调了指数函数的函数值恒正,这与指明指数函数的值域为 $\left( {0, + \infty }\right)$ 是有区别的, 前者只是后者的必要条件. 教学中要淡化值域, 避免过早引入值域概念.

例 6 旨在说明指数函数的单调性的应用. 要弱化最值概念, 这里对最值的理解还是停留于初中时“图像最高点 (低) 点的纵坐标是函数的最大 (小) 值”.

指数函数的应用, 不仅是用指数函数解决数学问题, 也指用指数函数解决实际问题.

### 教学建议

在引入指数函数时,可适当复习幂函数的概念,提示学生“幂函数具有指数固定, 幂随着底数的变化而变化的特征”, 启发学生发现指数函数的变化规律.

教学中要注意站在系统与整体的高度组织教学, 力求让学生对知识的发生、发展有较为全面的认识.

在教学中要充分体现 “数形结合” “从特殊到一般” 和 “类比” 的数学思想方法. 对学有余力的学生, 可创设适当的问题情境, 对部分性质和内容, 如函数值的分布等, 进行自主探究. 若学生在学习中遇到障碍, 可适当复习回顾幂函数的图像与性质.

“当 $a > 1$ 时,指数函数 $y = {a}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数”和“当 $0 < a < 1$ 时,指数函数 $y = {a}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格减函数”的探究方式,与幂函数情形是完全类似的,可视学生的具体情况, 设计不同的探究活动. 例如, 可让学生自主探究在上述两种情况下指数函数的单调性; 亦可在介绍 $a > 1$ 的情况之后,让学生自主探究在 $0 < a < 1$ 时,指数函数在 $\mathbf{R}$ 上是严格减函数的定义与推导过程.

教学中可借助信息技术探究指数函数的图像与性质. 例如, 引导学生用图形计算器多作几个指数函数的图形,然后通过底数 $a$ 的动态变化展示函数图像的分布情况. 这有利于发现指数函数的图像在底数 $a > 1$ 和 $0 < a < 1$ 两种情况下有什么不同,使学生比较容易地概括出指数函数的性质.

在引入指数函数概念时, 可结合生活中的实例, 让学生体会指数函数的现实背景. 鼓励学生收集、阅读一些现实生活、生产实际或经济领域中的指数函数模型, 体会指数函数的应用价值, 培养与提升数学建模的素养.

#### 4.3 对数函数

### 教学重点

对数函数的定义与图像, 对数函数的性质: 能在幂函数、指数函数的基础上, 利用对数引入对数函数, 理解对数函数的概念, 作出具体的对数函数的图像. 能利用从特殊到一般、类比的思想方法, 探究对数函数的图像特征, 进一步用图像和代数运算的方法研究对数函数的性质, 并利用这些性质解决实际问题. 知道对数函数与指数函数互为反函数,这两个函数的图像关于直线 $y = x$ 对称. 通过实例,了解对数函数的应用价值, 加强数学的应用意识.

### 内容分析

本节在幂函数、指数函数的基础上, 通过对数引入对数函数的概念, 归纳出对数函数的特征为 “底数固定,对数的值随着真数的变化而变化”. 通过类比思想,探究对数函数在底数大于 1 和底数大于 0 且小于 1 这两种情况下的图像与性质,并在引入了对数的基本不等式之后, 证明对数函数在底数大于 1 时的单调性. 最后, 用 “火箭的最大速度问题”和“银行存款问题”让学生体会对数函数在科学领域及生活中的重要作用.

例 1 旨在通过求函数的定义域加深对对数函数的概念的理解, 但重点并非求对数函数的定义域, 在教学时不要加大这部分的难度. 习题 4.3A 组的第 1 题, B 组的第 2 题是该例题的配套习题. 其中, A 组第 1 题旨在巩固概念、夯实基础, B 组第 2 题是该例题的拓展.

例 2 与例 3 旨在研究对数函数的定义与图像. 习题 4.3A 组第 3 题是该例题的配套习题, 在复习对数函数图像的同时, 也了解了图像的平移.

例 4 和例 5 旨在应用对数函数的单调性 “比较两个数的大小”, 熟悉对数函数的性质.

例 4 第(2)小题目的是体现分类讨论的思想. 例 4 第(3)小题旨在用换底公式先将两个底数不相等的对数换成同底, 再利用对数函数的单调性比较大小.

例 5 是在对题设的两个大数取对数之后, 再利用对数函数的单调性比较这两个数的大小, 旨在熟悉对数函数的单调性的同时, 体会到对数对简化运算所起到的作用. 建议在解题之初, 先让学生利用计算器判断这两个数的大小, 当发现计算器无法解决该问题时, 再提出能否利用对数简化运算的作用解决该问题.

习题 4.3A 组第 5、6、7 题, B 组第 3、4 题, 是该组例题的配套习题. 其中, A 组第 5、6 题旨在巩固概念、夯实基础, A 组第 7 题与 B 组第 3、4 题是该组例题的拓展.

例 6 的目的是为了应用对数函数的单调性估算对数 ${\log }_{2}3$ 的第一位小数的值. 教学时, 要将教学的重点放在如何选择合适的算法解决该问题, 不要让计算器替代思维. 习题 4.3B 组第 5 题是该例题的配套习题.

例 7 与例 8 主要的目的在于让学生体会对数函数模型在科学领域和日常生活中的应用, 学会建立对数函数模型, 并据此分析与解决一些实际问题. 例 7 是火箭最大速度问题, 旨在通过火箭的燃料质量和火箭质量的倍数的计算, 认识数学在科学领域中的作用. 例 8 解决了必修 3.2 节一开始提出的银行复利问题, 以此体会数学在生活中的实际应用. 习题 4.3B 组第 6 题是该组例题的配套习题.

### 注意事项

对数函数的概念是以幂函数、指数函数和对数的概念为基础的. 从形式上看, 对数函数的引入没有直接采用 “固定等式 ${a}^{b} = c$ 中的一个量,研究另两个量的相互变化关系”的做法, 但是由于对数概念的引入, 指数式中的指数与幂, 就是对数式中的对数与真数, 二者在本质上是一致的.

由于学生已经学过了幂函数、指数函数以及对数的概念及其运算性质, 教学中要充分利用学生的认知基础, 一方面要充分利用研究幂函数与指数函数时所获得的经验来研究对数函数, 同时要注意加强与指数函数的联系, 帮助学生形成良好的知识结构, 提高认识能力.

值得指出的是, 教材通过 “对数运算是指数运算的逆运算, 作为函数, 称对数函数 $y = {\log }_{a}x$ 是指数函数 $y = {a}^{x}$ 的反函数”的观点引入了反函数,但此时对此不必过分强调, 反函数的一般概念将在下一章学习.

教材中引入了对数的基本不等式, 其证明的出发点是指数的性质及幂的基本不等式. 可以让学生尝试用直接法进行证明, 从而体会反证法的便捷之处.

讲对数函数的单调性时, 一定要强调这是针对定义域中的某个区间而言的, 是一个局部的性质. 教学中应弱化复合函数的单调性的教学, 将重点放在对对数函数单调性的理解上, 为今后引入一般函数的单调性打好基础.

本节的最后解释了“对数换底公式其实就是两个底数不同的对数函数实际上只相差一个常数倍” 这个事实. 在教学中应侧重从函数的观点解释这一事实, 而不必过分强调结论本身.

### 教学建议

在引入对数函数概念时,可适时启发学生回顾幂函数、指数函数揭示的“固定等式 ${a}^{b} = c$ 中的一个量,研究另两个量的相互变化关系”的规律,并问对数函数是否具有类似的规律, 进一步建立这三个函数的联系与区别.

教学中应注意知识间的联系. 例如, 将研究幂函数、指数函数的图像与性质的方法, 继续用于对数函数的图像与性质的研究; 又如, 可利用对数函数与指数函数互为反函数, 建立对数函数与指数函数间的联系. 这样做可使学生形成良好的知识结构, 提高认知能力.

教学中可充分利用信息技术进行探究. 例如, 可利用图形计算器, 让学生先直观地发现同底的指数函数与对数函数的图像是关于直线 $y = x$ 对称的,再进行一般化的证明, 增加学生对指数函数与对数函数互为反函数的直观感觉.

教材的例 7 “火箭的最大速度”问题可结合本节最后的课后阅读一起教学,体会对数函数模型在科学领域中的应用, 增强用数学解决实际问题的意识.

可让学生收集、了解生活中运用对数函数模型的例子, 体会如何借助函数模型刻画实际问题, 感悟数学模型中有关参数的现实意义. 对学有余力的学生, 也可启发他们主动发现现实生活中的有关问题, 建立相应的对数函数模型解决该问题, 以提高数学建模素养.

#### 三、参考答案或提示

##### 4.1 幂函数

练习 ${4.1}\left( 1\right)$

1. 将点 $\left( {3,\sqrt{3}}\right)$ 代入幂函数 $y = {x}^{a}$ ,得 ${3}^{a} = \sqrt{3}$ ,解得 $a = \frac{1}{2}$ ,所以此幂函数的表达式为 $y = {x}^{\frac{1}{2}}$ .

2.(1)对一切实数 $x$ ,该函数都有意义,所以其定义域是 $\mathbf{R}$ . 图略.

(2) $y = {x}^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$ ,当 $x > 0$ 时,该函数才有意义,所以其定义域是 $\left( {0, + \infty }\right)$ . 图略.

(3) $y = {x}^{\frac{4}{3}} = \sqrt[3]{{x}^{4}}$ ,对一切实数 $x$ ,该函数都有意义,所以其定义域是 $\mathbf{R}$ . 图略.

3. 由题意,得 $- {m}^{2} + {2m} + 3 > 0$ ,解得 $- 1 < m < 3$ . 又因为 $m$ 为整数,所以 $m$ 的取值为 0、1、2.

练习 4.1(2)

1. (1)将函数 $y = {x}^{\frac{2}{3}}$ 的图像向右平移一个单位就得到函数 $y = {\left( x - 1\right) }^{\frac{2}{3}}$ 的图像. 将函数 $y = {\left( x - 1\right) }^{\frac{2}{3}}$ 的图像向左平移一个单位就得到函数 $y = {x}^{\frac{2}{3}}$ 的图像. 图略.

(2)将函数 $y = {x}^{\frac{2}{3}}$ 的图像向上平移一个单位就得到函数 $y = {x}^{\frac{2}{3}} + 1$ 的图像. 将函数 $y = {x}^{\frac{2}{3}} + 1$ 的图像向下平移一个单位就得到函数 $y = {x}^{\frac{2}{3}}$ 的图像. 图略.

2.(1)考虑幂函数 $y = {x}^{-3}$ . 因为指数小于 0 的幂函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数,所以 ${2.5}^{-3} > {3.1}^{-3}$ .

(2)考虑幂函数 $y = {x}^{\frac{3}{2}}$ . 因为指数大于 0 的幂函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增函数,所以 ${1.7}^{\frac{3}{2}} > {1.6}^{\frac{3}{2}}$ .

3. 图略.

习题 4.1

A 组

1. 将点 $\left( {\sqrt[4]{3},3}\right)$ 代入幂函数 $y = {x}^{a}$ ,得 ${\left( \sqrt[4]{3}\right) }^{a} = 3$ ,解得 $a = 4$ ,所以此幂函数的表达式为 $y = {x}^{4}$ .

2.(1)对一切实数 $x$ ,该函数都有意义,所以其定义域是 $\mathbf{R}$ . 图略.

(2)函数 $y = {x}^{-2} = \frac{1}{{x}^{2}}$ ,当 $x \neq  0$ 时,该函数才有意义,所以其定义域是 $\left( {-\infty ,0}\right) \; \cup  \left( {0, + \infty }\right)$ . 图略.

(3)函数 $y = {x}^{-\frac{3}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{{x}^{3}}}$ ,当 $x > 0$ 时,该函数才有意义,所以其定义域是 $\left( {0, + \infty }\right)$ . 图略.

3. 根据题意,设 $v = k{r}^{4}\left( {k \neq  0}\right)$ ,将 $r = 3, v = {400}$ 代入该式,得 ${400} = {3}^{4}k$ ,解得 $k = \frac{400}{81}$ . 此时 $v = \frac{400}{81}{r}^{4}$ . 于是,当 $r = 5$ 时, $v = \frac{400}{81} \times  {5}^{4} \approx  {3086}\left( {{\mathrm{\;{cm}}}^{3}/\mathrm{s}}\right)$ .

4.(1)考虑幂函数 $y = {x}^{-\frac{1}{2}}$ . 因为指数小于 0 的幂函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数,所以 ${3.1}^{-\frac{1}{2}} > {3.2}^{-\frac{1}{2}}$ ；

(2) ${\left( a + 2\right) }^{\frac{1}{3}} > {a}^{\frac{1}{3}}$ .

5. ②.

6. 图略.

B 组

1. (1)第一和第二. (2)s<1.

2. D.

3. $y = {x}^{-2}$ . (答案不唯一)

4. 将函数 $y = \frac{{ax} + 1}{x + 2}$ 整理变形,得 $y = a + \frac{1 - {2a}}{x + 2}$ . 要求该函数在区间 $\lbrack 1, + \infty )$ 上是严格减函数,并且函数值不恒为负,所以 $1 - {2a} > 0$ ,且当 $x = 1$ 时,函数值 $\frac{a + 1}{3} \geq  0$ . 因此, $- 1 \leq  a < \frac{1}{2}$ . 又因为 $a$ 为整数,所以 $a = 0$ 或 -1 .

##### 4.2 指数函数

### 练习 $\mathbf{{4.2}\left( 1\right) }$

1. 是指数函数的有 $\left( 3\right) \left( 5\right) \left( 6\right)$ ; 是幂函数的有 $\left( 1\right) \left( 2\right) \left( 4\right)$ .

2.(1)对一切实数 $x$ ,该函数都有意义,所以其定义域是 $\mathbf{R}$ .

(2)当 $x - 2 \neq  0$ 时,该函数才有意义,所以其定义域是 $\left( {-\infty ,2}\right)  \cup  \left( {2, + \infty }\right)$ .

3. 图略.

### 练习 ${4.2}\left( 2\right)$

1.(1)考虑指数函数 $y = {1.4}^{x}$ . 因为底大于 1 的指数函数 $y = {a}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数,所以 ${1.4}^{0.3} < {1.4}^{0.4}$ .

(2)考虑指数函数 $y = {0.3}^{x}$ . 因为底小于 1 大于 0 的指数函数 $y = {a}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格减函数,所以 ${0.3}^{1.4} > {0.3}^{1.5}$ .

(3)因为 ${\left( \frac{1}{a}\right) }^{\pi } = {a}^{-\pi }$ ,当 $0 < a < 1$ 时,指数函数 $y = {a}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格减函数, 所以 ${a}^{-{3.14}} < {a}^{-\pi }$ ,即 ${a}^{-{3.14}} < {\left( \frac{1}{a}\right) }^{\pi }$ ; 当 $a > 1$ 时,指数函数 $y = {a}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数,所以 ${a}^{-{3.14}} > {a}^{-\pi }$ ,即 ${a}^{-{3.14}} > {\left( \frac{1}{a}\right) }^{\pi }$ .

2. 因为 $m > n$ ,且 ${a}^{m} < {a}^{n}$ ,所以 $0 < a < 1$ .

3.(1)因为指数函数 $y = {3}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数,所以 $x > {0.5}$ . 故此不等式的解集为 $\left( {{0.5}, + \infty }\right)$ .

(2)将 ${0.2}^{x}$ 写成 ${5}^{-x},{25}$ 写成 ${5}^{2}$ . 因为指数函数 $y = {5}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数,所以 $- x < 2$ ,即 $x >  - 2$ . 故此不等式的解集为 $\left( {-2, + \infty }\right)$ .

### 练习 ${4.2}\left( 3\right)$

1. 当 $0 < a < 1$ 时,指数函数 $y = {a}^{x}$ 在区间 $\left\lbrack  {1,2}\right\rbrack$ 上是严格减函数. 所以,该指数函数在区间 $\left\lbrack  {1,2}\right\rbrack$ 上取到的最小值为 ${a}^{2}$ ,此时 $x = 2$ ; 该指数函数在区间 $\left\lbrack  {1,2}\right\rbrack$ 上取到的最大值为 $a$ ,此时 $x = 1$ . 由题意,得 $a - {a}^{2} = \frac{a}{3}$ ,解得 $a = \frac{2}{3}$ .

2. 设促销活动开始后的第 $n$ 天,甲服装的售价为 ${y}_{1} = {175}{\left( 1 - 5\% \right) }^{n}$ ; 乙服装的售价为 ${y}_{2} = {200}{\left( 1 - 7\% \right) }^{n}$ . 根据函数式列表:

<table><tr><td>第 $n$ 天</td><td>甲服装的售价/元</td><td>乙服装的售价/元</td></tr><tr><td>1</td><td>166.25</td><td>186</td></tr><tr><td>2</td><td>157.93</td><td>172.98</td></tr><tr><td>3</td><td>150.04</td><td>160.87</td></tr><tr><td>4</td><td>142.53</td><td>149.61</td></tr><tr><td>5</td><td>135.41</td><td>139.13</td></tr></table>

(续表)

<table><tr><td>第 $n$ 天</td><td>甲服装的售价/元</td><td>乙服装的售价/元</td></tr><tr><td>6</td><td>128.64</td><td>129.39</td></tr><tr><td>7</td><td>122.2</td><td>120.34</td></tr><tr><td>8</td><td>116.09</td><td>111.91</td></tr><tr><td>9</td><td>110.29</td><td>104.08</td></tr><tr><td>10</td><td>104.77</td><td>96.796</td></tr></table>

可以看出, 7 天后甲服装的售价将高于乙服装的售价.

习题 4.2

A 组

1. ②③⑤.

2.(1)当 $3 - x \geq  0$ 时,该函数才有意义,所以其定义域是 $\left( {-\infty ,3}\right\rbrack$ .

(2)当 $x \neq  0$ 时,该函数才有意义,所以其定义域是 $\left( {-\infty ,0}\right)  \cup  \left( {0, + \infty }\right)$ .

3. 图略.

函数 $y = {\left( \frac{3}{2}\right) }^{x}$ 的图像与函数 $y = {\left( \frac{2}{3}\right) }^{x}$ 的图像关于 $y$ 轴对称.

将函数 $y = {\left( \frac{2}{3}\right) }^{x}$ 的图像向下移一个单位就得到函数 $y = {\left( \frac{2}{3}\right) }^{x} - 1$ 的图像. 将函数 $y = {\left( \frac{2}{3}\right) }^{x} - 1$ 的图像向上平移一个单位就得到函数 $y = {\left( \frac{2}{3}\right) }^{x}$ 的图像.

4. 因为指数函数 $y = {\left( m - 2\right) }^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格减函数,所以 $0 < m - 2 < 1$ ,解得 $2 < m < 3$ .

5. 因为无论 $a\left( {a > 0}\right.$ 且 $\left. {a \neq  1}\right)$ 取何值,均成立 ${a}^{0} = 1$ ,所以函数 $y = {a}^{2 - x}$ 的图像恒经过一个定点,其坐标为 $\left( {2,1}\right)$ .

6. (1)考虑指数函数 $y = {1.2}^{x}$ . 因为底大于 1 的指数函数 $y = {a}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数,所以 ${1.2}^{2.6} < {1.2}^{2.61}$ .

(2)因为 ${\left( \frac{\sqrt{3}}{3}\right) }^{\frac{1}{2}} = {\left( \sqrt{3}\right) }^{-\frac{1}{2}}$ ,且底大于 1 的指数函数 $y = {a}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数, 所以 ${\left( \sqrt{3}\right) }^{-\frac{1}{3}} > {\left( \sqrt{3}\right) }^{-\frac{1}{2}}$ ,即 ${\left( \sqrt{3}\right) }^{-\frac{1}{3}} > {\left( \frac{\sqrt{3}}{3}\right) }^{\frac{1}{2}}$ .

7.(1)因为指数函数 $y = {3}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数,所以 ${x}^{2} - {2x} + 3 < {2x}$ ,解得 $1 < x < 3$ . 故此不等式的解集为 $\left( {1,3}\right)$ .

(2)将 $\frac{1}{81}$ 写成 ${\left( \frac{1}{3}\right) }^{4}$ . 因为指数函数 $y = {\left( \frac{1}{3}\right) }^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格减函数,所以 $\sqrt{x} \geq$ 4,即 $x \geq  {16}$ . 故此不等式的解集为 $\lbrack {16}, + \infty )$ .

8. 当 $0 < a < 1$ 时,指数函数 $y = {a}^{x}$ 在区间 $\left\lbrack  {1,2}\right\rbrack$ 上是严格减函数. 所以,当 $x =$ 2 时,该指数函数取到最小值 ${a}^{2}$ ; 而当 $x = 1$ 时,该指数函数取到最大值 $a$ . 由题意, 得 $a + {a}^{2} = 6$ ,解得 $a =  - 3$ 或 $a = 2$ ,均不满足 $0 < a < 1$ ,所以舍去.

当 $a > 1$ 时,指数函数 $y = {a}^{x}$ 在区间 $\left\lbrack  {1,2}\right\rbrack$ 上是严格增函数. 所以,当 $x = 2$ 时, 该指数函数取到最大值 ${a}^{2}$ ; 而当 $x = 1$ 时,该指数函数取到最小值 $a$ . 由题意,得 $a + {a}^{2} = 6$ ,解得 $a = 2$ .

因此 $a = 2$ .

9. 从今年起的第 10 年新购置的平板电脑数为 ${50} \times  {\left( 1 + 5\% \right) }^{10} \approx  {81}$ 台.

B 组

1. C.

2. D.

3. 因为 $x > 0$ 时,指数函数 $y = {\left( {a}^{2} - 1\right) }^{x}$ 的值总大于 1,所以 ${a}^{2} - 1 > 1$ ,解得 $a <  - \sqrt{2}$ 或 $a > \sqrt{2}$ .

4. 因为 $- 1 < x < 0$ ,所以 ${2x} < x <  - x$ . 又因为指数函数 $y = {3}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数,所以 ${3}^{2x} < {3}^{x} < {3}^{-x}$ .

5. 因为 $a > 1$ ,所以指数函数 $y = {a}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数,因此 ${x}^{2} + {2x} + 1 < \; 2{x}^{2} - {3x} + 1$ ,整理得 ${x}^{2} - {5x} > 0$ ,解得 $x < 0$ 或 $x > 5$ .

6. 因为函数 $y = {5}^{x + 1} + m$ 的图像不经过第二象限,所以 $5 + m \leq  0$ ,即 $m \leq   - 5$ .

#### 4.3 对数函数

### 练习 ${4.3}\left( 1\right)$

1. 因为对数函数 $y = {\log }_{a}x\left( {a > 0\text{且}a \neq  1}\right)$ 的图像经过点 $\left( {4,2}\right)$ ,所以 ${\log }_{a}4 = 2$ , 解得 $a = 2$ . 故此对数函数的表达式为 $y = {\log }_{2}x$ .

2.(1)当 $\frac{2 + x}{1 - x} > 0$ ,即 $- 2 < x < 1$ 时,该函数才有意义. 所以该函数的定义域是 $\left( {-2,1}\right)$ .

(2)当 $4 - {x}^{2} > 0$ 时,即 $- 2 < x < 2$ 时,该函数才有意义,所以该函数定义域是 $\left( {-2,2}\right)$ .

3. 图略.

练习 4.3(2)

1. 因为无论 $a\left( {a > 0\text{且}a \neq  1}\right)$ 取何值,均成立 ${\log }_{a}1 = 0$ ,所以函数 $y = {\log }_{a}\left( {x - 1}\right)$ 的图像必经过一个定点, 其坐标为 $\left( {2,0}\right)$ .

2. (1)因为 $0 < a < 1$ 时,对数函数 $y = {\log }_{a}x$ 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数, 所以 ${\log }_{0.2}3 > {\log }_{0.2}6$ .

(2)由换底公式,得 ${\log }_{0.2}3 = \frac{1}{{\log }_{3}{0.2}},{\log }_{0.3}3 = \frac{1}{{\log }_{3}{0.3}}$ ,其分母 ${\log }_{3}{0.2} < \; {\log }_{3}{0.3} < 0$ ,故 ${\log }_{0.2}3 > {\log }_{0.3}3$ .

3. 证明: 当 $0 < a < 1$ 时, $\frac{1}{a} > 1$ . 若 ${x}_{2} > {x}_{1} > 0$ ,那么 $\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}} > 1$ ,由对数的基本不等式,得 ${\log }_{a}\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}} =  - {\log }_{\frac{1}{a}}\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}} < 0$ ,即 ${\log }_{a}{x}_{2} < {\log }_{a}{x}_{1}$ . 这说明对数函数 $y = {\log }_{a}x$ 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数.

### 练习 ${4.3}\left( 3\right)$

1. (1) $y = a{\left( 1 - {0.012}\% \right) }^{t}\left( {t > 0}\right)$ .

(2) ${0.9} \geq  {\left( 1 - {0.012}\% \right) }^{t}$ ,解得 $t \geq  {877.95}$ ,即至少经过 878 年, ${}^{14}\mathrm{C}$ 的含量才能低于原来的 90%.

2. 因为 ${2}^{2} = 4 < 5 < 8 = {2}^{3}$ ,由对数函数的单调性,有 $2 < {\log }_{2}5 < 3$ .

又因为 ${25} < {32}$ ,即 $5 < 4\sqrt{2} = {2}^{2.5}$ ,再次由对数函数单调性,得 ${\log }_{2}5 < {2.5}$ .

现在比较 ${\log }_{2}5$ 与 2.3. 这等价于比较 5 与 ${2}^{2.3} = {2}^{\frac{23}{10}}$ ,即比较 ${5}^{10}$ 与 ${2}^{23}$ ,因为 ${5}^{10} = \; {9765625} > {8388608} = {2}^{23}$ ,所以 $5 > {2}^{2.3}$ . 再由对数函数单调性,得 ${\log }_{2}5 > {2.3}$ .

随后我们比较 ${\log }_{2}5$ 与 2.4. 这等价于比较 5 与 ${2}^{2.4} = {2}^{\frac{12}{5}}$ ,即比较 ${5}^{5}$ 与 ${2}^{12}$ ,因为 ${5}^{5} = {3125} < {4096} = {2}^{12}$ ,所以 $5 < {2}^{2.4}$ . 再由对数函数单调性,得 ${\log }_{2}5 < {2.4}$ . 最后得到 2.3<log ${}_{2}5 <$ 2.4.

因此 ${\log }_{2}5$ 的第一位小数是 3 .

### 习题 4.3

### A 组

1. (1)当 $x + {12} > 0$ ,即 $x >  - {12}$ 时,该函数才有意义,因此该函数定义域是 $\left( {-{12}, + \infty }\right)$ .

(2)当 $\frac{1}{{x}^{2} - {2x} + 5} > 0$ 时,即当 ${x}^{2} - {2x} + 5 > 0$ 时,该函数才有意义,又因为恒成立 ${x}^{2} - {2x} + 5 > 0$ ,所以该函数定义域是 $\mathbf{R}$ .

2. 因为对数函数 $y = {\log }_{a}x\left( {a > 0\text{且}a \neq  1}\right)$ 的图像经过点 $\left( {3,2}\right)$ ,所以 ${\log }_{a}3 = 2$ , 即 ${a}^{2} = 3$ ,解得 $a = \sqrt{3}$ . 又因为点 $P\left( {b,4}\right)$ 为此函数图像上的点,所以 ${\log }_{\sqrt{3}}b = 4$ ,即 $b = {\left( \sqrt{3}\right) }^{4} = 9.$

3. 图略.

函数 $y = {\log }_{3}x$ 的图像与函数 $y = {\log }_{\frac{1}{3}}x$ 的图像关于 $x$ 轴对称.

函数 $y = {\log }_{\frac{1}{3}}x$ 的图像与函数 $y = {\left( \frac{1}{3}\right) }^{x}$ 的图像关于直线 $y = x$ 对称.

4. 因为无论 $a\left( {a > 0}\right.$ 且 $\left. {a \neq  1}\right)$ 取何值,函数 $y = {\log }_{a}x - 1$ 的图像必经过一个定点, 此定点的坐标为 $\left( {1, - 1}\right)$ .

5. (1)因为 ${\log }_{a}{0.2} < {\log }_{a}{0.1}$ ,所以 $0 < a < 1$ .

(2)因为 ${\log }_{a}\pi  > {\log }_{a}\mathrm{e}$ ,所以 $a > 1$ .

6. 因为 $y = {\log }_{{a}^{2} - 1}x$ 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数,所以 $0 < {a}^{2} - 1 < 1$ ,解得 $- \sqrt{2} < a <  - 1$ 或 $1 < a < \sqrt{2}$ .

7. 当 $a > 1$ 时,对数函数 $y = {\log }_{a}x$ 在区间 $\left\lbrack  {1,2}\right\rbrack$ 上是严格增函数. 所以,当 $x = 2$ 时,该对数函数取到最大值 ${\log }_{a}2$ ; 而当 $x = 1$ 时,该对数函数取到最小值 ${\log }_{a}1 = 0$ . 由题意,得 ${\log }_{a}2 - 0 = 1$ ,解得 $a = 2$ .

B 组

1. ②③.

2. 当 $a - {a}^{x} > 0$ ,即 $a > {a}^{x}$ 时,该函数才有意义. 当 $a > 1$ 时,解得 $x < 1$ ,因此该函数定义域是 $\left( {-\infty ,1}\right)$ ; 当 $0 < a < 1$ 时,解得 $x > 1$ ,因此该函数定义域是 $\left( {1, + \infty }\right)$ .

3.(1)因为 ${\log }_{3}m < {\log }_{3}n$ ,所以 $m < n$ .

(2)当 $a > 1$ 时,因为 ${\log }_{a}m < {\log }_{a}n$ ,所以 $m < n$ ；当 $0 < a < 1$ 时,因为 ${\log }_{a}m < \; {\log }_{a}n$ ,所以 $m > n$ .

(3)因为 $0 < m < 1,0 < n < 1,0 < N < 1$ ,所以 ${\log }_{m}N = \frac{1}{{\log }_{N}m} > 0,{\log }_{n}N = \; \frac{1}{{\log }_{N}n} > 0$ ,故有 $0 < \frac{1}{{\log }_{N}m} < \frac{1}{{\log }_{N}n}$ ,即 ${\log }_{N}m > {\log }_{N}n$ . 又因为 $0 < N < 1$ ,所以 $m < n$ .

4. 因为 ${\log }_{a}\left( {4{x}^{2} - 1}\right)  < {\log }_{a}\left( {-2{x}^{2} + x + 1}\right)$ 且 $0 < a < 1$ ,所以 $4{x}^{2} - 1 >  - 2{x}^{2} + \; x + 1 > 0$ ,解得 $\frac{2}{3} < x < 1$ .

5. 取以 10 为底的对数,由对数函数单调性,只需要比较两个对数 $\lg {22}^{23}( = \; {23}\lg {22}$ )与 $\lg {23}^{22}\left( { = {22}\lg {23}}\right)$ 的大小就足够了. 由计算器得 ${23}\lg {22} \approx  {30.88},{22}\lg {23} \approx$ 29.96,因为 ${30.88} > {29.96}$ ,所以 ${22}^{23} > {23}^{22}$ .

6. 设 ${}^{237}\mathrm{U}$ 在不断的裂变中,每天所剩留质量是上一天剩留质量的 $q$ 倍,由题意, 得 ${q}^{7} = {50}\%$ ,解得 $q = {\left( {50}\% \right) }^{\frac{1}{7}}$ . 设经过 $x$ 天裂变,剩留质量小于原来的 10%,所以 ${q}^{x} < {10}\%$ ,即 ${\left( {50}\% \right) }^{\frac{x}{7}} < {10}\%$ ,解得 $x > 7 \times  {\log }_{0.5}{0.1} \approx  {23.25}$ ,即至少经过 24 天的裂变, 剩留质量才小于原来的 10%.

### 复习题

A 组

1. (1) $y = {x}^{\frac{1}{2}};y = {\left( \sqrt[4]{2}\right) }^{x};y = {\log }_{\sqrt[{12}]{2}}x$ . (2) $k < 0$ . (3) $\left( {2,2}\right)$ .

2. (1) C. (2) C.

3. (1)函数 $y = {\left( x - 1\right) }^{\frac{5}{2}} = \sqrt{{\left( x - 1\right) }^{5}}$ ,只要 $x - 1 \geq  0$ ,该函数都有意义,所以其定义域是 $\lbrack 1, + \infty )$ .

(2)当 $x - 1 \geq  0$ ,即 $x \geq  1$ 时,该函数才有意义,所以其定义域是 $\lbrack 1, + \infty )$ .

(3)当 $\frac{1 + x}{1 - x} > 0$ ,即 $- 1 < x < 1$ 时,该函数才有意义,所以其定义域是 $\left( {-1,1}\right)$ .

4.(1)考虑幂函数 $y = {x}^{0.7}$ ,因为指数大于 0 的幂函数在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格增函数,所以 ${0.1}^{0.7} < {0.2}^{0.7}$ .

(2)考虑指数函数 $y = {0.7}^{x}$ ,因为底小于 1 且大于 0 的指数函数 $y = {a}^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格减函数,所以 ${0.7}^{0.1} > {0.7}^{0.2}$ .

(3)因为 $0 < a < 1$ 的对数函数 $y = {\log }_{a}x$ 在区间 $\left( {0, + \infty }\right)$ 上是严格减函数,所以 ${\log }_{0.7}{0.1} > {\log }_{0.7}{0.2}$ .

5. 由题意,得 ${\left( \sqrt{2}\right) }^{a} = 2$ ,且 ${\left( -2\right) }^{b} = \frac{1}{4}$ ,解得 $a = 2$ 且 $b =  - 2$ . 因此得 ${x}^{2} = {x}^{-2}$ , 解得 $x =  \pm  1$ .

6. 因为 $x > 1$ ,所以 ${\log }_{\frac{2}{3}}x < 0 < {\left( \frac{2}{3}\right) }^{x} < 1 < {x}^{\frac{3}{2}}$ ,因此 ${\log }_{\frac{2}{3}}x < {\left( \frac{2}{3}\right) }^{x} < {x}^{\frac{3}{2}}$ ,即 $c < \; a < b$ .

7. 当 $a > 1$ 时,函数 $y = {\log }_{a}\left( {x + 1}\right)$ 在区间 $\left\lbrack  {0,1}\right\rbrack$ 上是严格增函数. 所以,当 $x = 0$ 时,该函数取到最小值,此时 $y = {\log }_{a}1 = 0$ ; 当 $x = 1$ 时,该函数取到最大值,此时 $y = {\log }_{a}2 = 1$ ,解得 $a = 2$ .

当 $0 < a < 1$ 时,函数 $y = {\log }_{a}\left( {x + 1}\right)$ 在区间 $\left\lbrack  {0,1}\right\rbrack$ 上是严格减函数. 所以,当 $x = 0$ 时,该函数取到最大值,而此时 $y = {\log }_{a}1 = 0$ ,故无解.

因此 $a = 2$ .

8. 设至少需要将 $n$ 块这样的玻璃重叠起来才能满足要求. 由题意,得 ${\left( 1 - {10}\% \right) }^{n} < \; \frac{1}{3}$ ,解得 $n > {\log }_{0.9}\frac{1}{3} \approx  {10.43}$ . 所以,至少需要 11 块这样的玻璃重叠起来,才能使通过它们的光线强度低于原来的 $\frac{1}{3}$ .

### B 组

1. (1) 1 或 3.

2. (1) B. (2) A.

3. 因为函数 $y = {\left( {\log }_{a}\frac{3}{5}\right) }^{x}$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格增函数,所以 ${\log }_{a}\frac{3}{5} > 1$ ,又因为 $0 < \; a < 1$ ,所以 $\frac{3}{5} < a < 1$ .

4. 因为函数 $y = {\left( \frac{1}{2}\right) }^{x}$ 的图像与函数 $y = {x}^{\frac{1}{2}}$ 的图像的交点个数为 1 个,所以方程 ${\left( \frac{1}{2}\right) }^{x} = {x}^{\frac{1}{2}}$ 的解的个数为 1 个. 图略.

5. 因为 $A = \{ x \mid  1 < x \leq  4\}$ ,所以 $B = \left\{  {y \mid  y = {\log }_{3}x, x \in  (1,4\rbrack }\right.$ 且 $\left. {y \in  \mathbf{Z}}\right\}$ ,因此用列举法表示的集合为 $B = \{ 1\}$ .

### 拓展与思考

1. ${\log }_{2}3$ 不是有理数.

证明: 假设 ${\log }_{2}3$ 是有理数,那么它可以写成既约分数的形式 ${\log }_{2}3 = \frac{m}{n}$ ,其中 $m\text{、}n$ 均为正整数. 它等价于 ${2}^{\frac{m}{n}} = 3$ ,因此 ${3}^{n} = {2}^{m}$ . 因为对任意的正整数 $m,{2}^{m}$ 为 $m$ 个 2 相乘,所以 ${2}^{m}$ 均是偶数,而对任意的正整数 $n,{3}^{n}$ 均为奇数,说明 ${3}^{n} \neq  {2}^{m}$ ,与 ${3}^{n} = {2}^{m}$ 矛盾. 这说明 ${\log }_{2}3$ 不可能是有理数.

2. 因为 ${\log }_{2}3$ 的第一位小数为 5,所以首先比较 ${\log }_{2}3$ 与 1.55,这等价于比较 3 与 ${2}^{1.55} = {2}^{\frac{31}{20}}$ ,即比较 ${3}^{20}$ 与 ${2}^{31}$ . 由于 ${3}^{20} = {3486784401} > {2147483648} = {2}^{31}$ ,所以 3 > ${2}^{1.55}$ . 由对数函数的单调性,得 ${\log }_{2}3 > {1.55}$ .

再比较 ${\log }_{2}3$ 与 1.58. 这等价于比较 3 与 ${2}^{1.58} = {2}^{\frac{79}{50}}$ ,即比较 ${3}^{50}$ 与 ${2}^{79}$ . 因为 ${3}^{50} > \; {7.178979876} \times  {10}^{23} > {6.044629099} \times  {10}^{23} > {2}^{79}$ ,所以 $3 > {2}^{1.58}$ . 由对数函数的单调性得 ${\log }_{2}3 > {1.58}$ .

最后比较 ${\log }_{2}3$ 与 1.59. 这等价于比较 3 与 ${2}^{1.59} = {2}^{\frac{159}{100}}$ ,即比较 ${3}^{100}$ 与 ${2}^{159}$ . 因为 ${3}^{100} < {5.153775208} \times  {10}^{47} < {7.307508186} \times  {10}^{47} < {2}^{159}$ ,所以 $3 < {2}^{1.59}$ . 由对数函数的单调性得 ${\log }_{2}3 < {1.59}$ .

因此 ${1.58} < {\log }_{2}3 < {1.59},{\log }_{2}3$ 的第二位小数为 8 .

#### 四、相关阅读材料

### 参考文献

[1] 李大潜. 漫话 e [M]. 北京:高等教育出版社,2011.